Produit scalaire dans le plan – ♦ Les différentes façons de calculer un produit scalaire:
- Avec un angle $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =\rm AB\cdot AC\cdot \cos \widehat =\rm AB\cdot AC\cdot \cos \alpha$ $\rm \widehat $ est ce qu’on appelle un angle géométrique. Sa mesure est toujours comprise entre 0 et 180° ou en radian entre 0 et $\pi$ rad. Penser à utiliser cette formule quand on connait un angle et les 2 longueurs adjacentes.
- Avec des vecteurs colinéaires • Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens: $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =\rm AB\cdot AC$ C’est un cas particulier de la formule: $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =\rm AB\cdot AC\cdot \cos \widehat $ lorsque $\rm \widehat =0$ et donc $\rm \cos\widehat =1$ • Si les vecteurs sont colinéaires et de sens opposé: $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =-\rm AB\cdot AC$ C’est un cas particulier de la formule: $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =\rm AB\cdot AC\cdot \cos \widehat $ lorsque $\rm \widehat =\pi$ rad et donc $\rm \cos\widehat =-1$
- Avec les longueurs $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =\rm \dfrac12(AB^2+AC^2-BC^2)$ Penser à utiliser cette formule, quand on connait les 3 longueurs dans un triangle. Dans cet exemple: $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =\rm \dfrac12(5^2+4^2-3^2)=16$
- Avec les coordonnées $\overrightarrow \cdot \overrightarrow =xx’+yy’$ avec $\overrightarrow (x;y)$ et $\overrightarrow (x’;y’)$ Pour calculer le produit scalaire avec les coordonnées , il faut être dans un repère orthonormé !
- Avec la projection orthogonale $\rm \overrightarrow \cdot \overrightarrow =\overrightarrow \cdot \overrightarrow $ Et comme $\rm \overrightarrow $ et $\rm \overrightarrow $ sont colinéaires, on se ramène à un calcul de produit scalaire avec des vecteurs colinéaires, ce qui est plus simple. $\rm \overrightarrow \cdot \overrightarrow =\overrightarrow \cdot \overrightarrow $ Et comme $\rm \overrightarrow $ et $\rm \overrightarrow $ sont colinéaires, on se ramène à un calcul de produit scalaire avec des vecteurs colinéaires, ce qui est plus simple. On peut projeter, soit le premier vecteur sur le deuxième soit le deuxième vecteur sur le premier Donc ne pas oublier qu’il y a deux possibilités !
- Avec une décomposition Penser à décomposer les vecteurs, en utilisant les angles droits ou les sommets de la figure. Puis développer! $\rm \overrightarrow \cdot \overrightarrow =(\overrightarrow +\overrightarrow )(\overrightarrow +\overrightarrow )$
- Conseils Quand il y a un rectangle, un carré, penser à introduire un repère orthonormé! • Puis trouver les coordonnées des points qui vous intéressent. • Puis calculer les coordonnées des vecteurs. • Puis calculer le produit scalaire avec les coordonnées.
Corrigé en vidéo Exercices 1:.
Comment calculer le produit scalaire entre deux vecteurs ?
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. →u⊙→v=uxvx+uyvy.
